Question

设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S_n}有最大项”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

利用等差数列的求和公式表示出Sn，整理后，得到等差数列的Sn为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出Sn的最大值，即为{Sn}中的最大项；反之也然．
【解析】
由等差数列的求和公式得：Sn=na1+d，
整理得：Sn=0.5dn2+（a1-d）n，
当d＜0，
∴等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，
∴Sn有最大值；
反之，当数列{Sn}有最大项时，则Sn为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d＜0．
故选A．