Question

已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞（i=1，2，3）．求证：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．

Answer

（1）整理得：f（x）=ax+，再对字母a进行分类讨论：当a≤0时，当a＞0时，分别得出f（x）的单调区间即可；
（2）由条件知：x1，x2，x3中至多一个负数． 再分类讨论：（ⅰ）若x1，x2，x3都为正数；（ⅱ）若x1，x2，x3中有一负数，最后综合得到f（x1）+f（x2）+f（x3）＞2．
【解析】
整理得：f（x）=ax+
（1）当a≤0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的减区间为（-，0）和（0，），增区间为（-∞，-）和（，+∞）…（5分）
（2）由条件知：x1，x2，x3中至多一个负数．   …（6分）
（ⅰ）若x1，x2，x3都为正数，由（1）可知|xi|＞时，f（|xi|）＞f（）=2 （i=1，2，3）
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞6＞2 …（9分）
（ⅱ）若x1，x2，x3中有一负数，不妨设x3＜0．
∵x2+x3＞0且|x3|＞，
∴x2＞-x3＞
∴f（x2）＞f（-x3）=-f（x3）（∵f（x）为奇函数）
∴f（x2）+f（x3）＞0
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x1）＞f（）=2  …（11分）
综上，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞2．…（12分）