Question

已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=2，在a_k与a_k+1之间插入k个c_k，依次构成新数列，试求该数列的前2013项之和；
（3）对任意正整数n，不等式（1+）（1+）•…•（1+）-a≥0恒成立，求正数a的范围．

Answer

（1）由an+1-an=1且a1=6，知an=n+5，再由已知得到∥，从而y=2x+1，又l过点（n，bn），推导出bn=2n+1，从而可求得．
（2）新数列：a1，c1，a2，c2，c2，a3，c3，c3，c3，a4，…，ak，ck，…，ak+1，共计有项数：k+1+•k．经估算k=62，k+1+•k=2016，项数接近2013，由此能求出该数列的前2013项之和．
（3）变量分离得：a≤恒成立，由此能求出正数a的范围．
【解析】
（1）∵an+1-an=1且a1=6，∴an=n+5，…（1分）
设l上任意一点P（x，y），则=（x，y-1），
由已知可得∥．
∴y=2x+1，又l过点（n，bn），
∴bn=2n+1．…（4分）
（2）新数列：a1，c1，a2，c2，c2，a3，c3，c3，c3，a4，…，ak，ck，…，ak+1，
共计项数：k+1+•k
经估算k=62，k+1+•k=2016，项数接近2013，…（5分）
∴S2013=（a1+a2+…+a62）+（1×c1+2×c2+…+62×c62）-2c62       …（6分）
令T=1×c1+2×c2+…+62×c62，
T=1×23+2×25+3×27+…+62×2125
4T=1×25+2×27+…+61×2125+62×2127
两式相减得：T=     …（8分）
∴S2013=+-2×2125=2263+．…（9分）
（3）变量分离得：a≤恒成立．…（10分）
令g（n）=     …（11分）
∴=×
=≥1…（13分）
∵{g（n）}递增数列．
∴a∈（0，g（1））=（0，]．…（14分）