Question

如图，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点．
（1）求证：AE∥面PBC；
（2）求直线PC与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer

（1）取PC中点F，连接EF、BF．利用三角形中位线定理，可得EF∥DC且EF=，结合题意得EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，由此即得AE∥面PBC；
（2）根据PA⊥面ABCD得∠PCA就是直线PC与平面ABCD所成角，因此利用题中的位置关系和长度数据，算出Rt△PCA中PC和AC的长度，再利用直角三角形三角函数的定义，即可求出∠PCA的余弦，从而得到直线PC与平面ABCD所成角的余弦值．
【解析】
（1）取PC中点F，连接EF、BF．
∵△PCD中E、F分别为PD、PC的中点，
∴EF∥DC且EF=，
∵AB∥DC且AB=，∴EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
∴ABFE为平行四边形，可得AE∥BF，
∵AE⊄面PBC，BF⊂面PBC，∴AE∥面PBC．…（6分）
（2）∵PA⊥面ABCD，
∴AC是直线PC在平面ABCD内的射影，得∠PCA就是直线PC与平面ABCD所成角
∵AD=1，CD=2，∴Rt△ADC中，AC==
又∵PA=3，∴Rt△PAC中，PC==，…（10分）
因此，Rt△PCA中，cos∠PCA===，
即直线PC与平面ABCD所成角的余弦值为．…（12分）