Question

已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（1）由给出的递推式得到数列{an}是等差数列，可直接利用等差数列的通项公式求解．题目给出了直线l经过顶点A，且给出了方向向量，设出直线l上的任意一点的坐标，由共线向量基本定理可求直线l的方程，然后把点（n，bn）代入所求的直线方程即可得到数列{bn}的通项公式；
（2）把（1）中求出的数列{bn}的通项公式代入cn=n•，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和．
【解析】
（1）在数列{an}中，∵an+1=an+1，∴an+1-an=1
则数列{an}是公差为1的等差数列，又a1=6，
∴an=a1+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
设l上任意一点P（x，y），∵点A（0，1）在直线l上，则=（x，y-1），
由已知可得∥，又向量=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直线l的方程为y=2x+1，
又直线l过点（n，bn），∴bn=2n+1；       
（2）由
∴Sn=C1+C2+…+cn
=1×23+2×25+3×27+…+n•22n+1①
②
①-②得：．
==
∴．