Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

Answer

（Ⅰ）由Sn是和an的等差中项，知2Sn=，且an＞0，由此能够证明数列{an}为等差数列，并能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由an=n，则，故=2（），由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn是和an的等差中项，
∴2Sn=，且an＞0，
当n=1时，2a1=+a1，解得a1=1，
当n≥2时，有2Sn-1=+an-1，
∴2Sn-2Sn-1=，
即，
∴=an+an-1，
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥2，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）∵an=n，
则，
∴=2（），
∴
=2[（1-）+（）+…+（）]
=2（1-）＜2．
∴．