Question

已知函数 ．
（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer

（I）先由切点是P（2，0），代入函数解析式求出a，再求导函数，确定切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在x=2处切线的方程；
（II）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）的单调性与单调区间．
【解析】
（I）因为切点是P（2，0），
∴，∴a=0，
∴函数f（x）=，又f′（x）=x-1，
所以切线的斜率为：f′（2）=1．
所以切线l的方程为y=x-2．
函数 ．
（II）由题意得，f′（x）=-（1+a）+x=（x＞0）
由f′（x）=0，得x1=1，x2=a
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，f′（x）=≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．