Question

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前50项和S₅₀；
（Ⅲ）把集合∁_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，写出数列{d_n}的通项公式，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，利用等比数列的通项公式即可求得q，从而得到通项公式；
（Ⅱ）根据数列{an}和数列{bn}的增长速度，判断数列{cn}的前50项中包含{an}、{bn}的项的情况，再根据等差数列求和公式即可得到结果；
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{dn}的通项公式为dn=22n-1，由dn=b2n，∴只需证明数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n∉A（n∈N*），通过作差b2n+1-b2n-1，可判断若b2n-1∈A，则b2n+1∈A．根据为b1∈A判断b2n-1∈A（n∈N*）．同理可判断b2n∉A，从而得到dn=22n-1．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b1=a1=1，b4=a3+1=8，则q3=8，∴q=2，
∴bn=2n-1；
（Ⅱ）根据数列{an}和数列{bn}的增长速度，数列{cn}的前50项至多在数列{an}中选50项，数列{an}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2n-1＜148得，n≤8，数列{bn}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{an}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136＞128，故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2，8，32，128这4项．
所以S50==3321；              
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{dn}的通项公式为dn=22n-1．
∵dn=b2n，∴只需证明数列{bn}中，b2n-1∈A，b2n∉A（n∈N*），
证明如下：∵b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1，即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若∃m∈N*，使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3（m+4n-1）-2，
所以，若b2n-1∈A，则b2n+1∈A．因为b1∈A，重复使用上述结论，即得b2n-1∈A（n∈N*）．
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1，即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，
因为“3×2×4n-1”为数列{an}的公差3的整数倍，
所以说明b2n 与b2n+2（n∈N*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b2=2∉A，即有b4=2∉A，重复使用上述结论，即得b2n∉A，
∴dn=22n-1；