Question

已知：圆O₁过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O₁的轨迹为C，过一点A（l，1）作直线l，直线l与曲线C交于不同两点M、N，分别在M、N两点处作曲线C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂的交点为K．
（I）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：直线l₁，l₂的交点K在一条直线上，并求出此直线方程．

Answer

（Ⅰ）利用抛物线的定义即可得出；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得到切线的斜率，联立切线的方程即可得到其交点K的坐标，再把直线MN的方程与抛物线的方程联立，得到根与系数的关系，代入交点K的消去参数即可得到交点K的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意和抛物线的定义可得：曲线C的轨迹是抛物线：x2=4y．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线MN的方程为：y-1=k（x-1）．
由x2=4y，得到，
∴过点M处的切线方程为，化为x1x=2（y+y1），
同理在点N处的切线方程为x2x=2（y+y2），
解得K点的坐标为．
联立得到x2-4kx+4k-4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=4k-4．
∴xK=2k，yk=k-1，
消去k得到点K所在的直线方程为：x-2y-2=0．