Question

设定义域为R的函数f（x）=为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；
（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f^-1（x）．

Answer

（1）根据给出的函数是偶函数，直接利用偶函数的定义f（-x）=f（x）整理后求a的值，把求出的a值代入原函数解析式，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，结合指数函数的性质，利用基本不等式求出函数最值，由函数对应的方程无根判断原函数没有零点；
（2）由（1）得到了函数单调区间，选定一个单调区间或在单调区间内选择一个子区间，由函数解析式解出x，把x和y 互换后得到函数的反函数．
【解析】
（1）因为f（x）=为R上的偶函数，
所以对于任意的x∈R，都有，
也就是2-x+1•（a+4x）=2x+1•（a+4-x），
即（a-1）（4x+1）=0对x∈R恒成立，
所以，a=1．
所以．
由=
设x1＜x2＜0，则，，，
所以，对任意的x1，x2∈（-∞，0），有
即f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
故，f（x）在（-∞，0）上是单调递增函数．
又对任意的x1，x2∈（0，+∞），在x1＜x2时，，
，．
所以．
则f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
故f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
对于任意的x∈R，，
故当x=0时，f（x）取得最大值1．
因为2x+1＞0，所以方程无解，故函数f（x）=无零点．
（2）选定D=（0，+∞），
由，得：y（2x）2-2×2x+y=0
所以， （0＜y≤1）
所以，x∈（0，1]．