Question

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求{b_n}的通项公式，进而求出{a_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的通项a_n以及前n项和S_n．

Answer

（1）由已知利用an=Sn+1-Sn可得．当b=2时，可化为=，利用等比数列的通项公式即可得出bn及an；
（2））当b≠2时，由①得，转化为一个等比数列，利用通项公式和前n项和公式即可得出an及Sn．
【解析】
由题意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，．
两式相减得，
即．①
（1）当b=2时，由①知，
∴=，
又，
所以{}是首项为1，公比为2的等比数列．
可得，，
由，得．
（2）当b≠2时，由①得
-=

若b=0，，；
若b=1，，；
若b≠0，1，数列{}是以为首项，以b为公比的等比数列，
故，
∴，
∴Sn=+
=
=
当b=1时，也符合上式．
所以，当b≠0时，．