Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F（，）的距离与到定直线l₁：x+y+=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若=λ，证明：⊥（-λ）．

Answer

（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C1的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C1在轴上的截距，即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（，）为焦点，直线l1：x+y+=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=-1，可得曲线C2的方程是y2=4x；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l2的方程为y=k（x-m），与抛物线y2=4x消去x，得y2-y-4m=0，可得y1y2=-4m．设N（-m，0），由=λ算出λ=，结合向量坐标运算公式得到-λ关于x1、x2、λ和m的坐标式，代入•（-λ）并化简，整理可得•（-λ）=0，从而得到对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．
解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有
=，
化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4x-4y=0．
令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，
所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．
点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，
所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，
设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得
y2-y-4m=0，可得y1y2=-4m．
由=λ，得（m-x1，-y1）=λ（x2-m，y2），可得λ=，
而N（-m，0），可得-λ=（x1+m，y1）-λ（x2+m，y2）=（x1-λx2+（1-λ）m，y1-λy2）
∵=（2m，0），
∴•（-λ）=2m[x1-λx2+（1-λ）m]=2m[+-+（1+）m]
=2m（y1+y2）•=2m（y1+y2）•=0
∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．