Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，，BC=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PDC所成的角；
（Ⅲ）设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer

如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；
（2）由（1）即可得到平面PDC的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；
（3）先求出平面PAB的法向量，若DE∥平面PAB，则，即可得出λ．
【解析】
如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分
别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C，
则，
∵，
∴BD⊥PC．
（2）由（1）知．
由条件知A（1，0，0），B（1，，0），．
设AB与面PDC所成角大小为θ，
则．
∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，
即直线AB与平面PDC所成角为60°．
（3）由（2）知C（-3，，0），记P（0，0，a），
则，，，，
而，∴，
==．
设为平面PAB的法向量，则，即，即．
取z=1，得x=a，进而得，
由DE∥平面PAB，得，∴-3aλ+a-aλ=0，而a≠0，∴．