Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan（A-B）取最大值时，角C的值为    ．

Answer

利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tanA=3tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），将tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形，求出tan（A-B）取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数．
【解析】
利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），
整理得：sinAcosB=3cosAsinB，
两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，
则tan（A-B）===，
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∴3tanB+≥2，当且仅当3tanB=，即tanB=时取等号，
∴tanA=3tanB=，
∴A=，B=，
则C=．
故答案为：