Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（1）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

Answer

（1）取AB1的中点G，连接EG，FG．根据三角形中位线定理，得出FG∥B1B且FG=B1B，又因为矩形BB1C1C中，EC∥B1B且EC=B1B，所以EC与FG平行且相等，四边形FGEC是平行四边形，CF∥EG，从而得到CF∥平面AEB1．
（2）根据题意，计算出梯形ECBB1的面积，结合AC⊥平面ECBB1和锥体体积公式，即可算出四棱锥A-ECBB1的体积．
【解析】
（1）CF∥平面AEB1，证明如下：
取AB1的中点G，连接EG，FG
∵△A1AB中，F、G分别是棱AB、AB1中点   
∴FG∥B1B且FG=B1B  
又∵矩形BB1C1C中，EC∥B1B且EC=B1B  
∴EC∥FG且EC=FG，得四边形FGEC是平行四边形  
∴CF∥EG
又∵CF⊂平面AEB1，EG⊈平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1．
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
又∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，而且BB1、BC是平面ECBB1内的相交直线
∴AC⊥平面ECBB1 
∵E是棱CC1的中点，得EC=AA1=2
∴S梯形ECBB1=（EC+BB1）BC=（2+4）×2=6
∴四棱锥A-ECBB1的体积V=S梯形ECBB1×AC=×6×2=4