Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）根据勾股定理可知AE⊥BE，然后根据面面垂直的性质定理可知BE⊥平面AED'，而AD'⊂平面AED'，最后根据线面垂直的性质可知AD'⊥BE；
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角，在Rt△AEF中，求出AF，在Rt△EBD'中，求出FG，最后在三角形FAG求出此角的正弦值即可．
【解析】
（Ⅰ）在Rt△BCE中，，
在Rt△AD'E中，，
∵AB2=22=BE2+AE2，
∴AE⊥BE．（2分）
∵平面AED'⊥平面ABCE，且交线为AE，
∴BE⊥平面AED'．（4分）
∵AD'⊂平面AED'，
∴AD'⊥BE．（6分）
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知AD'⊥BE，
∵AD'⊥ED'，
∴AD'⊥平面EBD'，（8分）
∵AD'⊂平面AED'，
∴平面ABD'⊥平面EBD'，且交线为BD'，
如图，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，（10分）
连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角．（11分）
由平面几何的知识可知，∴．
在Rt△AEF中，，
在Rt△EBD'中，，可求得．
∴．（14分）
∴直线AC与平面ABD'所成的角的正弦值为．