Question

已知数列{a_n}满足：，（其中e为自然对数的底数）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n，求证：，．

Answer

（1）由已知，可考虑两边取倒数，可构造，结合等差数列的通项可先求，进而可求an
（2）（方法一）构造函数f（x）=ex-1-x，x∈[1，+∞），对其求导，结合函数的导数可判断函数f（x）的单调性，进而可求函数f（x）的范围，即可证明，当n∈N*时，en-1≥n，然后利用放缩法对an的通项进行编写后利用裂项法可证明
（方法二），结合已知命题，也可以考虑利用数学归纳法证明
【解析】
（1）∵，
∴，
即．         …（3分）
令，则bn+1=bn+1，，
因此，数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．
bn=2+（n-1）•1=n+1，…（5分）
∴．                     …（6分）
（2）（方法一）先证明当n∈N*时，en-1≥n．
设f（x）=ex-1-x，x∈[1，+∞），则f'（x）=ex-1-1，
∵当x＞1时，f'（x）＞0
f（x）在（1，+∞）上是增函数，则当x≥1时，f（x）≥f（1）=0，即ex-1≥x．…（8分）
因此，当n∈N*时，en-1≥n，，…（9分）
当n∈N*时，n+1＜en，． …（10分）
∴．
…（12分）
∴．
…（14分）
（方法二）数学归纳法证明
（1）∵，，
∴当n=1时，成立；
∵，，
又∵e＞2，∴，
∴当n=1时，成立．           …（8分）
（2）设n=k时命题成立，即，，
当n=k+1时，，
要证，即证，
化简，即证ek≥k+1．                                 …（9分）
设f（x）=ex-x-1，x∈（0，+∞），则f'（x）=ex-1，
∵当x＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，则当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1．
因此，不等式ek≥k+1成立，即当n=k+1时成立． …（11分）
当n=k+1时，，
要证，即证，
化简，即证ek+1＞k+2．
根据前面的证明，不等式ek+1＞k+2成立，则n=k+1时成立．
由数学归纳法可知，当n∈N*时，不等式，成立．…（14分）