Question

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-a，若存在x∈[-1，]（a＞0），使得f（x）＜g（x），则实数a的取值范围是    ．

Answer

存在x∈[-1，]（a＞0），使得f（x）＜g（x），转化为存在x∈[-1，]（a＞0），使得（f（x）-g（x））min＜0即可．
【解析】
由题意，存在x∈[-1，]（a＞0），使得f（x）＜g（x），转化为存在x∈[-1，]（a＞0），使得（f（x）-g（x））min＜0即可，
令h（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-x+a，则h′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）
令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞，即h（x）在区间（-∞，-1）与（，+∞）上是增函数，在（-1，）上是减函数
又x∈[-1，]（a＞0），
当a≤1时，h（x）在区间[-1，]上是减函数，最小值为h（）==
令h（）＜0，解得，故符合要求
当a＞1时，h（x）在区间[-1，]减，在[，]上是增函数，故最小值为h（）=a
h（）＜0，解得a＜，故1＜a＜
综上知，符合条件的参数a的取值范围是或1＜a＜