Question

数列{2ⁿ-1}的前n项1，3，7，…，2ⁿ-1组成集合，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．则当n=3时，S₃=    ；试写出S_n=    ．

Answer

根据Sn=T1+T2+…+Tn的意义即可求得n=3时S3．根据S1，S2，S3，猜想-1，然后利用数学归纳法证明即可．
【解析】
当n=3时，A3={1，3，7}，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以S3=11+31+21=63；
由S1=1=21-1=-1，S2=7=23-1=-1，S3=63=26-1=-1，猜想-1，下面证明：
（1）易知n=1时成立；
（2）假设n=k时-1，
则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）]（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），
=（）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（）
=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk
=2k+1（-1）+（2k+1-1）
=-1=-1，即n=k时-1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N*-1成立．
所以-1．
故答案为：63；-1．