Question

如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；
（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为
60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．
（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．
（Ⅱ）【解析】
因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．
又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
如图建立空间直角坐标系，

因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．
所以，，
设为平面FGH的一个法向量，则，即，
再令y1=1，得．
，
设为平面PBC的一个法向量，则，即，
令z2=1，得．
所以=．
所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为．
（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°
证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．
依题意可设，其中0≤λ≤1．
由，则．
又因为，
所以．
又直线FM与直线PA成60°角，，
所以，即，解得：．
所以，．
所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°，此时PM的长为．