Question

已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记．
（Ⅰ）求及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．

Answer

（Ⅰ）根据已知中S（x1，x2，…，xn）的计算方法可得得及S（1，1，-1，-1）的值．
（Ⅱ）n=3时，．再固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x2，x3），S（-1，x2，x3）}．同理S（1，x2，x3）≥min{S（1，1，x3），S（1，-1，x3）}．S（-1，x2，x3）≥min{S（-1，1，x3），S（-1，-1，x3）}．以此类推，我们可以看出S≥min{S（x1，x2，x3）}．从而求得S（x1，x2，…，xn）的最小值．
（Ⅲ）=x1x2+x1x3+…+x1xn+x2x3+…+x2xn+…+xn-1xn．固定x2，x3，…，xn，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，类似于（II）中的方法得出S（x1，x2，…，xn）的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由已知得．
S（1，1，-1，-1）=1-1-1-1-1+1=-2．       …（3分）
（Ⅱ）n=3时，．
固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x2，x3），S（-1，x2，x3）}．
同理S（1，x2，x3）≥min{S（1，1，x3），S（1，-1，x3）}．
S（-1，x2，x3）≥min{S（-1，1，x3），S（-1，-1，x3）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，x3所达到，
于是S≥min{S（x1，x2，x3）}．
当xk=±1（k=1，2，3）时，=．
因为|x1+x2+x3|≥1，
所以，且当x1=x2=1，x3=-1，时S=-1，
因此Smin=-1．                  …（7分）
（Ⅲ）=x1x2+x1x3+…+x1xn+x2x3+…+x2xn+…+xn-1xn．
固定x2，x3，…，xn，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，
因此S≥min{S（1，x2，x3，…，xn），S（-1，x2，x3，…，xn）}．
同理S（1，x2，x3，…，xn）≥min{S（1，1，x3，…，xn），S（1，-1，x3，…，xn）}．
S（-1，x2，x3，…，xn）≥min{S（-1，1，x3，…，xn），S（-1，-1，x3，…，xn）}．
以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，…，xn所达到，
于是S≥min{S（x1，x2，x3，…，xn）}．
当xk=±1（k=1，2，…，n）时，
=．
当n为奇数时，因为|x1+x2+…+xn|≥1，
所以，另一方面，若取，，
那么，
因此．…（13分）