Question

已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由①可得当x＜-1时，f（x）＜0，根据②可得当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故有 ，由此解得实数a的取值范围．
【解析】
∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2-x-2，
根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即当x＞-1时，g（x）＜0；当x＜-1时，g（x）＞0．
故当x＜-1时，f（x）＜0．
根据②∃x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，而当x＞1时，g（x）=2-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，即当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，
故函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示：
综合以上，故有 ，解得-4＜a＜-2，或-＜a＜0，
故选 C．