Question

已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．
（I）函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满，求c的值．

Answer

（I）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（ωx+φ-）+，结合图象的两个相邻对称中心的距离为和点在函数图象上，建立关于ω、φ的关系式，解之即可得到函数f（x）的达式；
（II）将代入函数表达式，解出sinC=，结合C为锐角，算出cosC=．根据面积正弦定理公式，由S△ABC=2算出b=6，最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边c的值．
【解析】
（I）∵=sin（ωx+φ），=[1-cos（ωx+φ）]
∴
=sin（ωx+φ）+[1-cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ-）+
∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为，∴函数的周期T==π，得ω=2
∵点是函数图象上的点，
∴f（）=sin（2×+φ+）+=1，解之得cosφ=
∵φ∈（0，），∴φ=
因此，函数f（x）的达式为f（x）=sin（2x+）+；
（II）f（-）=sin（C-+）+=，解之得sinC=
∵0＜C＜，∴cosC==
又∵a=，S△ABC=2
∴×a×b×sinC=2，即××b×=2，解之得b=6
根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=5+36-2××6×=21
∴c=，即得c的值为．