Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P．
（ I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer

（ I ）取AF得中点Q，连接QE、QP，利用三角形的中位线的性质证明PQEC为平行四边形，可得CP∥EQ，再由直线和平面平行的判定定理证得结论．
（Ⅱ）根据平面ABEF⊥平面EFDC，BE=x，可得AF=x （0＜x≤4），FD=6-x，代入VA-CDF计算公式，再利用二次函数的性质求得VA-CDF的最大值．
【解析】
（ I ）证明：取AF得中点Q，连接QE、QP，则有条件可得QP与DF 平行且相等，
又DF=4，EC=2，且DF∥EC，
∴QP与 EC平行且相等，
∴PQEC为平行四边形，
∴CP∥EQ，又EQ⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，BE=x，
∴AF=x （0＜x≤4），FD=6-x，
∴VA-CDF==（6x-x2）=[9-（x-3）2]，
故当x=3时，VA-CDF取得最大值为3．