Question

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．
（ I ） 求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ） 若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

Answer

（I）①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，利用垂径定理得即可解得r．于是得到圆的方程，可求得点N，M的坐标．
②由①得到2c，得到a2=b2+c2；又椭圆过点，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出kAN+kBN，证明其和等于0即可．
（I）【解析】
①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），
由|MN|=3，得=，解得r=．
所以⊙C的方程为．
令y=0，解得x=1或4．
∴N（1，0），M（4，0）．
∴2c=2，得c=1．
②∵椭圆过点，∴．
联立，解得．
∴椭圆的方程为．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），
联立消去y得到（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，．
∵kAN+kBN==
=[2x1x2-5（x1+x2）+8]
=
=0．
∴kAN=-kBN．
当x1=1或x2=1时，，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．
因此直线NA与直线NB的倾角互补．