Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列{ a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列：
B．数列{S_n}是递增数列的充要条件是数列{a_n}的各项均为正数
C．若{a_n}是等差数列，则对于k≥2且k∈N，S₁•S₂…S_k=0的充要条件是a₁•a₂•a_k=0
D．若{a_n}是等比数列，则对于k≥2且k∈N，S₁•S₂…S_k=0的充要条件是a_k+a_k+1=0．

Answer

利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得A、B、C不正确．经过检验，只有D正确，从而得出结论．
【解析】
A：数列{an}的前n项和为Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，
若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如an=n-60，当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列，故A不正确．
B：由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，
如数列：0，1，2，3，…，满足{Sn}是递增数列，但不满足数列{an}的各项均为正数，故B不正确．
C：若{an}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…Sk=0不能推出a1•a2…ak=0，
例如数列：-3，-1，1，3，满足S4=0，但 a1•a2•a3•a4≠0，故C不正确．
D：一方面：若{an}是等比数列，则由S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N），
从而当k=2时，有S1•S2=0⇒S2=0⇒a1+a2=0，
∴a2=-a1，从而数列的{an}公比为-1，故有ak+ak+1=ak-ak=0．
另一方面，由ak+ak+1=0可得ak=-ak+1，∴a2=-a1，
可得S2=0，∴S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N），故D正确．
故选D．