Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．
（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为45°，求PD：AD的值．

Answer

（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到
平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．
【解析】
（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD
∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=a•，解之得OE=
∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2
即PD：AD的值为．