Question

已知抛物线点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足，O为坐标原点．
（I）求抛物线C的方程；
（II）以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为l，并且l₁与抛物线C交于A、B两点，l₂与抛物线C交于D、E两点，线段AB、DE的中点分别为G、H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

Answer

（Ⅰ）利用向量线段即可得到点N的坐标，代入抛物线C的方程即可得到p的值，从而得到抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l1，l2，的方程，与抛物线C的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点G，H的坐标，从而得到直线GH的方程，令y=0，只要x是一个常数即可．
【解析】
（Ⅰ）∵，点M（12，8），∴，即N（9，6）．
又∵点N在抛物线C上，∴62=18p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）由题意可知：直线l1，l2的斜率存在且不为0，
设l1：y=k（x-12）+8，则l2：．
由得到ky2-4y+32-48k=0，
是A（x1，y1），B（x2，y2），则．
又y1+y2=k（x1+x2-24）+16，
∴x1+x2=，
∴线段AB的中点G．
用代替k即可得到点H（2k2-8k+12，2k）．
∴kGH===．

∴直线GH：，
令y=0，得到x=10．
∴直线GH过定点（10，0）．