Question

已知函数f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（I）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；
（II）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m-n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）

Answer

（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m-n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；
【解析】
（I）f′（x）=2ax-4b+=，其中x＞0，
由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，
故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2-4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，
所以，解得；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），
由（I）知f（x）存在极大值和极小值，
设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，
所以m=f（x1），n=f（x2），
因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），
由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，
又由于，
所以，
所以m-n=f（x1）-f（x2）
=-+4bx2-2alnx2
=+2a（lnx1-lnx2）
=-a（）+2aln，
令t=，则m-n=-a（t-）+2alnt，令h（t）=-（t-）+2lnt（），
所以h′（t）=-1-+=-≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e-e-1-2＜h（t）＜e2-e-2-4，
由m-n=ah（t）=1，知a=，所以．