Question

在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，
下列命题：①D一定是△ABC的垂心；
②D一定是△ABC的外心；
③△ABC是锐角三角形；
④；
其中正确的是    （写出所有正确的命题的序号）

Answer

对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心．
对于问题③可以通过余弦定理解决．
对于④，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；

【解析】
①选项正确理由如下：
∵T在底面ABC内的正投影为D
∴TD⊥面ABC
∴TD⊥BC
∵在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直且TB∩TC=T
∴TA⊥面TBC
∴TA⊥BC
∵TD∩TC=T
∴BC⊥面TAD
∴AD⊥BC
同理可得BD⊥AC，CD⊥AB
∴D是△ABC的垂心故①选项正确
对于问题②可由①知由于三角形不一定是特殊三角形因此垂心不一定是外心
对于③设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA==＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以△ABC是锐角三角形．故③对．
对于④设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=，
在三角形ABC中，有：AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴×TD=a×
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+d2c2）•TD2
∴成立
故④对
故答案为①③④