Question

如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此几何体的体积．

Answer

（1）通过取CE的中点G，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用面面垂直的判定定理在平面BCE内找一条直线与平面CDE垂直即可证明；
（3）取正三角形ACD的边AD上的高CM，证明CM⊥平面ABED，再利用三棱锥的体积公式计算即可．
证明：（1）取CE的中点G，连接FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥CD．
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）取AD的中点M，连接CM，由△ACD为等边三角形，∴CM⊥AD．
∵平面ACD⊥平面ABED，∴CM⊥平面ABED．
∵AD=2，∴CM=．
由直角梯形ABED得S==3，
∴V三棱锥C-ABED==．