Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）设点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．
（3）设点M在棱BB₁上，试确定点M的位置，使得平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer

（1）要证AD⊥平面BCC1B1，只需证明AD⊥BC，利用勾股定理即可证得；
（2）要证A1E∥平面ADC1，只证A1E∥AD，连接DE，可证四边形ADEA1为平行四边形；
（3）M为BB1的中点，取AC中点G，AC1中点N，连接MN，BG，先证BG⊥面ACC1A1，再证MN∥BG即可；
（1）证明：因为该几何体为正三棱柱，所以，
又AD⊥C1D，所以=AD2+=AD2+DC2，
所以AC2+=AD2+DC2，即AC2=AD2+DC2，
所以AD⊥DC，又AD⊥DC1，DC∩DC1=D，DC⊂面BCC1B1，DC1⊂面BCC1B1；
所以AD⊥平面BCC1B1；
（2）证明：由（1）知，AD⊥BC，∴D为BC中点，又E是B1C1的中点，
所以DE∥AA1，DE=AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，且A1E⊄面ADC1，AD⊂面ADC1，
所以A1E∥面ADC1．
（3）【解析】
点M为BB1的中点，证明如下：
取AC中点G，AC1中点N，连接MN，BG，
则GN∥CC1，且GN=CC1，又BM∥CC1，BM=CC1，
∴GN∥BM，GN=BM，所以四边形BMNG为平行四边形，
∴MN∥BG；
∵△ABC为正三角形，∴BG⊥AC，又CC1⊥面ABC，∴CC1⊥BG，
∴BG⊥面ACC1A1，又MN∥BG，
所以MN⊥面ACC1A1，且MN⊂面AMC1中，
所以平面AMC1⊥面ACC1A1．