Question

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=m，点A（4，6），B（s，t）．
（1）若3s-4t=-12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；
（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ（λ＞1），求m的值．

Answer

（1）由点A（4，6），B（s，t）都适合3s-4t=-12，可得过A，B的直线方程为3x-4y=-12，求出圆心到该直线的距离，然后利用垂径定理求得m的值．
（2）由圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ写出圆C的方程，利用两个圆的一次项系数相等得到s和t的关系式，再根据s，t为正整数求出s与t的具体关系，从而求出λ2的值，进一步求出s与t的值，代入所求圆的方程后即可得到m的值．
【解析】
（1）因为A（4，6），B（s，t）．
由3s-4t=-12，说明点B（s，t）适合直线3x-4y=-12，
由把A（4，6）代入直线3x-4y=-12成立，所以A，B共线3x-4y=-12，
则圆心（2，2）到直线3x-4y=-12的距离为d=，
又直线AB被圆C截得的弦长为4，
根据垂径定理知：m=22+22=8；
（2）设P（x，y）为圆C：（x-2）2+（y-2）2=m上任意一点，
则，
整理得：（1-λ2）x2+（1-λ2）y2-（8-2λ2s）x-（12-2λ2t）y+52-λ2s2-λ2t2=0，
则该圆的方程即为（x-2）2+（y-2）2=m，
所以①，整理得：λ2（t-s）=2，
因为s，t为正整数，且λ＞1，所以t-s=，
若t-s为小于等于0的整数，则λ2（t-s）=2不成立，所以，t-s=1．
则λ2=2．代入①得：s=3，t=4．
把λ2=2，s=3，t=4代入方程（1-λ2）x2+（1-λ2）y2-（8-2λ2s）x-（12-2λ2t）y+52-λ2s2-λ2t2=0，
得：（x-2）2+（y-2）2=10．
所以m=10．