Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为    ，计算=    ．

Answer

根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（，1），可知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出所给的式子的值．
【解析】
∵，则 f′（x）=x2-x+，f″（x）=2x-1，令f″（x）=2x-1=0，求得x=，
故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．
由于函数的对称中心为（，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴=2×1006=2012，
故答案为 （，1），2012．