Question

已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer

（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；
（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；
（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e，等价于|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=aex+（ax-2）ex=（ax+a-2）ex，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）ex取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．

x （-∞，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - +
f（x） 减 增

所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m-2）em．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以fmax（x）=0，fmin（x）=-e，
所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=e，