Question

已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a2=b2+c2得b；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D（-1，0），则，即，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；
【解析】
（Ⅰ）由，，a2=b2+c2得，，b=1，
所以椭圆方程是：；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+2，y2=kx2+2，
将y=kx+2代入，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），
则，
以PQ为直径的圆过D（-1，0），
则，即，
所以=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2
=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=．            
解得，此时（*）方程△＞0，
所以存在，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）．