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如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,AE=BF=2,,现将梯...

如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,AE=BF=2,manfen5.com 满分网,现将梯形沿CB、DA折起,使EF∥AB且EF=2AB,得一简单组合体ABCDEF如图(2)示,已知M,N,P分别为AF,BD,EF的中点.
(1)求证:MN∥平面BCF;
(2)求证:AP⊥DE;
(3)当AD多长时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°?
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(1)如图1,连接AC.利用矩形的性质可得N为AC的中点,利用三角形的中位线定理可得MN∥CF,再利用线面平行的判定定理即可证明; (2)利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABFE,得到AD⊥AP;利用平行四边形的判定和性质可得AP=BF,利用勾股定理的逆定理可得AP⊥AE,利用线面垂直的判定定理 可得AP⊥平面ADE.进而得到结论. (3)解法一:如图所示,通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角,解出即可; 解法二:点A作AK⊥DE交DE于K点,连结PK,则DE⊥PK,可得∠AKP为二面角A-DE-F的平面角,利用直角三角形的边角关系即可得出. (1)证明:如图1,连接AC,∵四边形ABCD是矩形,N为BD中点, ∴N为AC中点, 在△ACF中,M为AF中点,故MN∥CF. ∵CF⊂平面BCF,MN⊄平面BCF, ∴MN∥平面BCF; (2)证明:由题意知DA⊥AB,DA⊥AE 且AB∩AE=A, ∴AD⊥平面ABFE, ∵AP⊂平面ABFE,∴AP⊥AD, ∵P为EF中点,∴, 又AB∥EF,可得四边形ABFP是平行四边形. ∴AP∥BF,AP=BF=2. ∴AP2+AE2=PE2,∴∠PAE=90°,∴PA⊥AE. 又AD∩AE=A,∴AP⊥平面ADE. ∵DE⊂平面ADE,∴AP⊥DE. (3)解法一:如图2,分别以AP,AE,AD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设AD=m(m>0),则A(0,0,0),D(0,0,m),E(0,2,0),P(2,0,0). ∴,. 可知平面ADE的一个法向量为, 设平面DEF的一个法向量为,则,令x=1,则y=1,. 故. ∴, 由题意得,=cos60°,解得, 即时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°. 解法二:过点A作AK⊥DE交DE于K点,连结PK,则DE⊥PK,∴∠AKP为二面角A-DE-F的平面角, 由∠AKP=60°,AP=BF=2得AK=, 又AD•AE=AK•DE得, 解得,即时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°.
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考点分析:
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(2)manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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