Question

数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求最小的自然数n，使a_n≥2013．

Answer

（1）表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；
（2）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足；
（3）代入通项公式可把an≥2013变为关于n的不等式，解出n的范围，然后检验取其最小值即可；
【解析】
（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，
∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），
解得c=0或c=3．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3．
（ 2）当n≥2时，由a2-a1=c，a3-a2=2c，…an-an-1=（n-1）c，
得．
又a1=3，c=3，∴．
当n=1时，上式也成立，
∴．
（3）由an≥2013得，即n2-n-1340≥0，
∵n∈N*，∴，
令n=37，得a37=2001＜2013，令n=38得a38=2112＞2013，
∴使an≥2013成立的最小自然数n=38．