Question

已知函数，若函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．
B．a_n=n（n-1）
C．a_n=n-1
D．

Answer

根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．
【解析】
当x∈（-1，0]时，由g（x）=f（x）-x=x3-x=0，可得x=0，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=0．
当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=（x-1）3+1，
由g（x）=f（x）-x=（x-1）3+1-x=0 求得 x=1，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=（x-2）3+1+1=（x-2）3+2，
由g（x）=f（x）-x=（x-2）3+2-x=0 求得 x=2，故函数g（x）=f（x）-x的零点为 x=2．
以此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，函数g（x）对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为an=n-1．
故选 C．