Question

如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD，如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使点A₁在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）证明：A₁E∥平面CD₁F；
（2）求平面BEFC与平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图所示，利用图甲、乙，求出EF、A1E、A1G，作GT∥BE交EF于点T，则TG⊥GC，以点G为原点，分别以GC、GT、GA1所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
（1）证明：在图甲中，易知AE∥DF，从而在图乙中有A1E∥D1F，
∵A1E⊄平面CD1F，D1F⊂平面CD1F，∴A1E∥平面CD1F．
（2）【解析】
如图，在图乙中作GH⊥EF，垂足为H，连接A1H，由于A1G⊥平面EBCF，则A1G⊥EF，∴EF⊥平面A1GH，则EF⊥A1H，图甲中有EF⊥AH，
又GH⊥EF，则A、G、H三点共线，
设CF的中点为M，则MF=1，可证△ABG≌△EMF，
∴BG=MF=1，则AG=；
又由△ABG∽△AHE，得，
于是，HG=AG-AH=，
在Rt△A1GH中，==，
作GT∥BE交EF于点T，则TG⊥GC，
以点G为原点，分别以GC、GT、GA1所在直线为x、y、z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，
则G（0，0，0），E（-1，1，0），F（2，2，0），，
则，，
∴是平面BEFC的一个法向量，
设是平面A1EFD1的一个法向量，则，
不妨取y=-1，则x=3，z=，∴．
设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为θ，可以看出，θ为锐角，
∴==，
所以，平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值为．