Question

设函数，记f（x）的导函数f'（x）=f₁（x），f₁（x）的导函数f'₁（x）=f₂（x），f₂（x）的导函数f'₂（x）=f₃（x），…，f_n-1（x）的导函数f'_n-1（x）=f_n（x），n=1，2，…．
（1）求f₃（0）；
（2）用n表示f_n（0）；
（3）设S_n=f₂（0）+f₃（0）+…+f_n+1（0），是否存在n∈N^*使S_n最大？证明你的结论．

Answer

（1）由函数，利用导数的性质，能够依次求出f1（x），f2（x），f3（x）的表达式即可得到f3（0）．
（2）不失一般性，设函数fn-1（x）=（an-1x2+bn-1x+cn-1）eλx，导函数为fn（x）=（anx2+bnx+cn）eλx，对fn-1（x）求导，再结合题中条件求出cn=n（n-1）•λn-2，因此fn（0）=cn=n（n-1）λn-2．将λ=-代入即得：fn（0）；
（3）由（2）知fn+1（0）=n（n+1）（-）n-1，再对n分奇偶数讨论：当n=2k（k=1，2，…）时，得到当Sn最大时，n为奇数．当n=2k+1（k≥2）时，数列{S2k+1}是递减数列，又S1=f2（0），S3=f2（0）+f3（0）+f3（0）=2，从而得出当n=1或n=3时，Sn取最大值．
【解析】
（1）易得，f1（x）=（-x2+2x）e，
f2（x）=（x2-2x+2）e，
f3（x）=（-x2+x-3）e，
∴f3（0）=-3．
（2）不失一般性，设函数fn-1（x）=（an-1x2+bn-1x+cn-1）eλx，导函数为fn（x）=（anx2+bnx+cn）eλx，
其中n=1，2，…，常数λ≠0，a=1，b=c=0．
对fn-1（x）求导得：fn-1′（x）=[λan-1x2+（2an-1+λbn-1]x+（bn-1+λcn-1）]eλx，
故由fn-1′（x）=fn（x）得：an=λan-1    ①，
bn=2an-1+λbn-1 ②，
cn=2bn-1+λcn-1  ③
由①得：an=λn，n∈N，
代入②得：bn=2λn+λbn-1，即，其中n=1，2，…，
故得：bn=2n•λn-2+λcn-1．
代入③得：cn=2nλn-2+λcn-1，即，其中n=1，2，…，
故得：cn=n（n-1）•λn-2，
因此fn（0）=cn=n（n-1）λn-2．
将λ=-代入得：fn（0）=n（n-1）（-）n-2．其中n∈N．
（3）由（2）知fn+1（0）=n（n+1）（-）n-1，
当n=2k（k=1，2，…）时，S2k-S2k-1=f2k+1（0）=2k（2k+1）＜0，
∴S2k-S2k-1＜0，S2k＜S2k-1故当Sn最大时，n为奇数．
当n=2k+1（k≥2）时，S2k+1-S2k-1=f2k+2（0）+f2k+1（0）
又f2k+2（0）=（2k+1）（2k+2），f2k+1（0）=2k（2k+1），
∴f2k+2（0）+f2k+1（0）=（2k+1）（2k+2）+2k（2k+1）=（2k+1）（k-1）＜0，
∴S2k+1＜S2k-1，因此数列{S2k+1}是递减数列
又S1=f2（0），S3=f2（0）+f3（0）+f3（0）=2，
故当n=1或n=3时，Sn取最大值S1=S3=2．