Question

给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b，则2^a≤2^b-1”；
③“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是“∃x∈R，x²+1≤1”；
④等比数列{a_n}中，首项a₁＜0，则数列{a_n}是递减数列的充要条件是公比q＞1；
其中不正确的命题个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

①先根据“p且q”为假命题得到命题p与命题q中至少有一个假命题，进行判断；
②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥x”，易得到答案．
④先证必要性，由首项小于0，数列为递减数列，可得公比q大于0，得到数列的各项都小于0，利用等比数列的性质化简 ，得到其比值为q，根据其比值大于1，得到公比q大于1，综上，得到满足题意的q的范围；再证充分性，由q＞1，首项为负数，得到数列各项都为负数，利用等比数列的性质化简 ，得到其比值为q，根据q大于1，得到an+1＜an，即数列为递减数列，综上，得到{an}是递减数列的充要条件是公比q满足q＞1．得到正确的选项．
【解析】
①命题“p且q”为假命题，说明命题p与命题q中至少有一个假命题；故①不正确；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”．正确；
③∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故③不正确；
④先证必要性：
∵a1＜0，且{an}是递减数列，
∴an＜0，即q＞0，且 =q＞1，
则此时等比q满足q＞1，
再证充分性：
∵a1＜0，q＞1，
∴an＜0，
∴=q＞1，即an+1＜an，
则{an}是递减数列，
综上，{an}是递减数列的充要条件是公比q满足q＞1．正确．
故选C．