Question

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，设点Q₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃-Q_n，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求直线PQ₁的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记Q_n到直线P_nQ_n+1的距离为d_n，求证：n≥2时，++…＞3．

Answer

（1）求出函数的导数，利用斜率相等，求出a1，然后求直线PQ1的方程；
（2）通过求解函数的导数与切线的斜率，判断数列{an}是等差数列，然后求出它的通项公式；
（3）利用Qn到直线PnQn+1的距离为dn，通过公式利用基本不等式，即可通过累加法证明n≥2时，++…＞3．
【解析】
（1）令Q1（a1，a12），由y′=2x得…（1分）
即 故a1=2…（2分）
∴kQP=4，则切线l1的方程为：4x-y-4=0…（4分）
（2）令Qn（an，an2），则Qn-1（an-1，an-12），Pn-1（an-1，0），
∴…（5分）
化简得，（n≥2），…（6分）
故数列{an}是以2为首项2为公比的等比数列…（7分）
所以an=2n…（9分）
（3）由（2）知Pn-1（2n，0），Qn-1（2n+1，22n+2），Qn（2n，22n），
故，∴：2n+2x-y-22n+2=0…（10分）
∴=＜=．…（11分）
∴…（12分）
故++…＞=4×=4[1-]＞4＞3．…（14分）