Question

过椭圆的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则的值为    ．

Answer

由抛物线于y2=4ax得到焦点F（a，0），连接OB，CF．由O，B分别是线段AF，AC的中点，可得|CF|=2|OB|=2b，利用抛物线的定义得xC+a=2b，得到xC=2b-a，进而得到点C的坐标，
由直线AC与圆x2+y2=b2的相切的性质即可得出．
【解析】
如图所示，
由抛物线于y2=4ax得到焦点F（a，0），连接OB，CF．
∵O，B分别是线段AF，AC的中点，∴|CF|=2|OB|=2b，
∴点C的横坐标满足xC+a=2b，得到xC=2b-a，
由，解得（取yC＞0）．
∴C．
∴直线AC的方程为，化为．
∵直线AC与圆x2+y2=b2的相切，∴，
化为（a2-ab-b2）2=0，即a2-ab-b2=0，化为．又∵．
解得．
故答案为．