Question

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，再利用弦长公式，求出a，p的关系式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=my+p
由⇒y2-2pmy-2p2=0（2分）∴
当m=0时的最小值为2p2．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为．∵（9分）
∴（13分）
令=0得．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=（15分）