Question

已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的 距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

Answer

（1）根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|的正方形内部的点P的集合”的面积即可得出；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到线段．这些线段的长度ξ的所有可能取值分别为，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【解析】
（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．
设“满足|PH|的正方形内部的点P的集合”为事件M，
则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH==．
∴P（M）==．
故满足|PH|＜的概率为．
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到线段．
其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；长度等于的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于的由2条AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值为1，，2，，．
则P（ξ=1）==，P（ξ=）=，P（ξ=2）=，P（ξ=）==，P（ξ=）==．
随机变量ξ的分布列为

Eξ==．