Question

设a_n是函数f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零点．
（1）证明：0＜a_n＜1；
（2）证明：．

Answer

（1）先计算f（0）＜0，f（1）＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，根据零点存在定理得f（x）在（0，1）内有零点，再根据其导数为正，得出f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，而an是函数f（x）=x3+n2x-1（n∈N+）的零点，从而证明出0＜an＜1；
（2）分两部分进行证明．先证明左边的不等式，由（1）知0＜an＜1，得an＞，利用放缩法及裂项法可得a1+a2+…+an＞1-+-+-+…+=；再证明右边的不等式，由于an=，当n≥2时，可得a1+a2+…+an＜++-+-+…+-=1+-＜．综上可得．
【解析】
（1）∵f（0）=-1＜0，f（1）=n2＞0，且f（x）在R上的图象是一条连续曲线，
∴f（x）在（0，1）内有零点，
∵f′（x）=3x2+n2＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，1）内只有一个零点，
而an是函数f（x）=x3+n2x-1（n∈N+）的零点，
∴0＜an＜1；
（2）先证明左边的不等式，因an3+n2an-1=0，由（1）知0＜an＜1，
∴a＜an，即1-n2an=a＜an．
∴an＞，∴a1+a2+…+an＞++…+①
∵an＞≥=，
∴a1+a2+…+an＞1-+-+-+…+=，
再证明右边的不等式，由于f（）=+-1=-＜0，f（）=＞0，
∴＜a1＜，
由（1）知，0＜an＜1，且an3+n2an-1=0，
∴an=，
∵当n≥2时，a1+a2+…+an＜++-+-+…+-=1+-＜，
∴当n∈N*时，a1+a2+…+an＜，
综上，．