Question

在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，DC₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．

Answer

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AA1=h，则可得B、B1、C1、A1各点的坐标，得到向量、、的坐标，然后根据异面直线A1B与B1C1所成的角60°，结合空间向量夹角公式建立关于h的方程，解之可得h=1，即得该棱柱的高；
（II）根据（I）所建立的坐标系，可得，从而有，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出是平面平面A1BC1的一个法向量，再用直线与平面所成角的定义得与夹角的余弦值等于sinθ，由此建立sinθ关于h的函数关系式，结合基本不等式求最值即可得到：当且仅当时，sinθ取到最大值．由此即可得到sinθ的最大值．
【解析】
分别以AB、AC、AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AA1=h（h＞0），则有B（1，0，0），B1（1，0，h），C1（0，1，h），A1（0，0，h），
，，…（2分）
（Ⅰ）∵异面直线A1B与B1C1所成的角60°，
∴，即，
得，解得h=1，即得该棱柱的高为1．（6分）
（Ⅱ）∵D是BB1的中点，得，
∴可得．
设平面A1BC1的法向量为，于是，，
可得，即，可取，（8分）
于是．
而=．
令，（10分）
∵，当且仅当，即时，等号成立．
∴，
故当时，sinθ的最大值．（12分）