Question

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．
（I） 求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ） 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线l与椭圆D交于A、B两点，∠ANM=∠BNP是否恒成立？给出你的判断并说明理由．

Answer

（I）设圆C的半径r，由题意可得圆心（r，2）由MN的长度可求半径r，进而可求圆的方程，在圆的方程中，令y=0可求M，N的坐标，从而可求c，然后由已知点在椭圆上可求b，进而可求a，可求椭圆方程
（II）由题意可设直线L可设为y=k（x-4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，从而可求kAN+kBN==0，进而可得
【解析】
（I）设圆C的半径r，由题意可得圆心（r，20
∵|MN|=3
∴r2==
故圆的方程为：①
①中，令y=0可得x=1或x=4，则N（1，0），M（4，0）
即c=1
∵，消去a可得2b4-5b2-3=0
解得b2=3，则a2=4
故椭圆的方程为
（II）恒有，∠ANM=∠BNP成立
∵M在椭圆的外部
∴直线L可设为y=k（x-4）
由可得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=，x1x2=
kAN+kBN==
=
==0
∴KAN=-KBN即∠ANM=∠BNP
当x1=1或x2=1时，k=，此时对方程△=0不合题意
综上，过点M的动直线l与椭圆D交于A，B两点，恒有∠ANM=∠BNP成立