Question

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x-1）²+y²=1上的动点，求|RT|的最大值．

Answer

（1）抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，设点P的坐标为（x，y），依据抛物线的定义，由，可求x．由点P在抛物线C2上，且在第一象限可求点P的坐标，再由点P在椭圆上及c=1，a2=b2+c2=b2+1，可求a，b，从而可求椭圆的方程
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），则由，可得x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．利用设而不求的方法可得设FR的中点为Q，由M、N、Q、A四点共线可得=，从而可得动点R的轨迹方程；
（3）确定椭圆的左顶点，圆与x轴的交点坐标，即可求|RT|的最大值．
【解析】
（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，
设点P的坐标为（x，y），依据抛物线的定义，由，得1+x=，解得x=．
∵点P在抛物线C2上，且在第一象限，∴=4x=4×，解得y=．
∴点P的坐标为（，）．
∵点P在椭圆上，∴．
又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．
∴椭圆C1的方程为．
（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），
则=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），=（x-1，y）．
∴+=（x1+x2-2，y1+y2）．
∵+=，
∴x1+x2-2=x-1，y1+y2=y．①
∵M、N在椭圆C1上，∴，．
上面两式相减，把①式代入得．
当x1≠x2时，得．②
设FR的中点为Q，则Q的坐标为（，）．
∵M、N、Q、A四点共线，∴kMN=kAQ，即=．③
把③式代入②式，得，化简得4y2+3（x2+4x+3）=0．
当x1=x2时，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y2+3（x2+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y2+3（x2+4x+3）=0．
（3）4y2+3（x2+4x+3）=0可化为，中心为（-2，0），焦点在x轴上，左顶点坐标为（-3，0）
∵圆（x-1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）
∴|RT|的最大值为2-（-3）=5．